Линейные неравенства
Неравенство в математике это отношение, связывающее два математических объекта знаками ≤ , ≥, <, >. Строгие неравенства: a < b, a > b ( читается: a меньше b, a больше b) a > 0 ( a – положительное число), a < 0 (a – отрицательное число)
Нестрогие неравенства: a ≤ b, a ≥ b ( читается: a – не больше b, a – не меньше b
Определение: a < b, если a – b < 0; a > b, если a – b > 0; a ≤ b, если a – b ≤ 0; a ≥ b, если a – b ≥ 0
Свойства неравенств:
Еслиa < b, то b > a
Если a ≤ b и a ≥ b , то a = b
Если a < b и c – любое число, то a + c < b + c
Если a < b и c >0, то ac > bc; (обе части неравенства можно умножить на положительное число)
Если a < b и c <0, то ac > bc ( при умножении на отрицательное число, знак нервенства изменится)
Если a < b и c < d, то a + c < b + d (Неравенства одинакового смысла можно складывать)
Если 0 < a < b и 0 < c < d, то ac < bd ( Неравенства, у которых меньшие значения положительны, можно перемножать ( “левую” часть на “левую”, “правую” на “правую”)
Если 0 < a < b , то (обечасти неравенства с положительными числами можно возводить в натуральную степень)
Если 0 < a < b, то
Если неравенство содержит переменную величину ( например x) и ставится задача определения всех значений этой переменной, при которых неравенство превращается в верное числовое неравенство, то говорят, что требуется решить неравенство.
Решением неравенства с переменной х, это все значения этой переменной, при которых неравенство превращается в верное числовое неравенство.
А решить неравенство, значит найти все его решения.
НАПРИМЕР: Решить неравенство: 4 – 3x > 5 + x
используя свойства неравенств, перенесем все выражения с х из левой части в правую ( в нашем случае прибавим к обеим частям х)
и затем перенесем выражения, не содержащие х, из левой в правую ( в нашем случае, прибавим к обеим частям – 4)
-3x – x > 5 – 4
- 4x > 1 ( разделим обе части неравенства на отрицательное число -4)
x < – 0,25
Обычно решение наносится на координатную прямую, аответ записывается в виде интервала
x∈(-∞; - 0,25)
