Планиметрия ЕГЭ

БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА, ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Основные “запоминалки”

1. В треугольнике биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке; Точка пересечения биссектрис треугольника – центр окружности, вписанной в этот треугольник

Медианы, проведенные к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и в ней делятся в отношении 2:1, начиная от вершин треугольника

Медиана треугольника делит площадь треугольника на равные части ( получаются два треугольника с равными площадями)

Все три медианы разбивают треугольник на 6 равновеликих треугольника

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой проведена, то треугольник прямоугольный с прямым углом из которого проведена медиана

Высоты треугольника,проведенные к сторонам треугольника или к их продолжениям пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Если треугольник остроугольный, то ортоцентр лежит во внутренней области треугольника; Если треугольник прямоугольный, то ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла; Если треугольник тупоугольный, то ортоцентр лежит вне этого треугольника

2. Основное свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой проведена, на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника, прилегающим соответственно к этим отрезкам

Длина биссектрисы треугольника: 

В прямоугольном треугольнике, высота, проведенная на гипотенузу делит этот треугольник на треугольники, подобные исходному треугольнику

Подобие треугольников. Отношение площадей.

При решении задач, этого раздела необходимо знать признаки подобия треугольников. Уметь применять выводы из подобия треугольников: в подобных треугольниках против равных уголв лежат сходственные стороны, и обратно, против сходственных сторон лежат равные углы.

Знать и уметь применять обобщенную теорему Фалеса и обратную к ней

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки

Обратная теорема:

Если прямые, пересекающие две другие прямые(параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Отношение площадей:

При решении задач бывают полезные следующие теоремы:

1. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия этих фигур

2. Отношение площадей треугольников, имеющих равные углы, равно отношению произведений сторон, образующих эти углы
3.   Отношение площадей треугольников, имеющих равные основания, равно отношению высот, проведенных к этим основаниям.
4. Отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, равно отношению оснований, к которым проведены эти высоты.