ТЕСТ : Рациональные неравенства
Основные идеи решения рациональных неравенств основываются на методе интервалов и алгебраическом подходе.
Если же функцию в левой части можно разложить на линейные множители, то используют алгебраический подход к решению. Начнем, как раз, с алгебраического подхода.
Требуется решить неравенство: ( 4x + 3)(x + 5)(3x – 2)^2(x – 6)^3≤ 0 (1)
во вложенном файле вы найдете более подробное описание, здесь же изложу более кратко.
первое, заметим, что в каждой скобке стоит линейное выражение kx + b, причем k > 0 и это очень важно для нас. Вот это kx + b , будем рассматривать как разность kx – (-b). В нашем примере, скажем, 4x + 3 подразумеваем 4x – (-3).
Второе Ведь левая часть , представляет собой некоторую функцию, график которой можно было бы построить. Тот интервал, на котором часть графика, что лежит выше ОХ мы обозначаем “+”, а те интервалы, где график лежит ниже обозначаем “ – “ .
Но мы с вами график не сторим. Нам важно найти грпницы этих интервалов.
Поэтому мы ищем нули функции. Для этого приравниваем левую часть нашего выражения к 0. Думаю, что такой уж необходимости переписывать выражение ( 4x + 3)(x + 5)(3x – 2)^2(x – 6)^3 (*) и ставить = 0, нету. В 9-ом и 10 -ом, а уж в 11 – ом и подавно, все сразу правильно укажут нули.
Это – 3/4, – 5, 2/3 и 6.
Строим числовую ось и отмечаем на ней найденные точки( нули функции) .
Давайте разберемся, откуда эти знаки?
Так как, в выражении (*) все kx стоят слева и k > 0, то какое бы х > 6 мы не брали, разности kx – (– b) будут положительными.
Т.о. , если в выражении (k1x + b1)n1(k2x + b2)n2...(kmx + bm)nm (**) все ki > 0, где i = 1,2,3…,m, то самый правый крайний интервал будет иметь знак “+”.
Теперь замечаем, что у выражения (x – 6)3 нечетный показатель.
Посмотрите, при 2/3 < x < 6 выражение (x – 6)3 становится отрицательным, а все остальные множители продолжают оставаться положительными.
Далее, при переходе через точку 2/3 знак не поменяется, поскольку (3x – 2) стоит в четной степени т.е (3x – 2)2 . При – 3/4 < x < 2/3 это выражение (3x – 2)2 не меняет знак ( поскольку в четной степени), а остальные остаются положительными.
Ответ в нашем неравенстве
Поэтому и возникает алгоритм:
Добиваемся, чтобы во всех выражениях kx ± m kx было слева и k > 0, тогда самый крайний правый интервал будет всегда с «+»
Помним, что выражениях с четным показателем ( kx ± m)^2n и | kx ± m | kx и m можно менять местами без изменения знака всего выражения.
Выписываем значения х, при которых каждая скобка обращается в 0 и наносим эти значения на числовую ось
изображаем интервалы и расставляем знаки: При переходе через четную степень или модуль знак сохраняем , при переходе через нечетную степень знак меняем на противоположный.
Метод интервалов
В основе метода лежит идея сохранения знака на интервале непрервыной на этом интервале функции.
т.е. Если a и b нули функции y = f(x) и на интервале (a; b) функция непрерывна, то для любого x из этого интервала
f(x) >0 или f(x)<0
Поэтому для решения неравенств методом интервалов используют следующий алгоритм:
Приводим неравенство к виду f(x) > 0 или f(x) <0
Находим нули функции (для этого решаем уравнение f(x) = 0) и точки разрыва (точки, в которых функция не определена). Эти точки называют точками смены знаков
разбиваем множество дейсительных на интервалы , граничными точками которыхяляются точки смены знаков.
В каждом интервале определяем знак функции, находя значение функции в некоторой точке этого интервала
строим числовую ось, отмечаем найденные интервалы, расставляем знаки, и записываем решение неравенства.