ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ( ЗАДАЧИ)
1. Какие из утверждений верны:
а) Параллелограмм, это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны.
б) В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны
в) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник – прямоугольник
г) Один из углов прямоугольной трапеции равен 135 градусов, тогда наименьший угол трапеции будет равен 30 градусам
2. В параллелограмме ABCD АВ = 10, ВС = 12, угол между АВ и диагональю АС равен 30о Из вершин B и D провели перпендикуляры BK и DM соответственно к прямой АС. а) Докажите, что BMDK параллелограмм; б) Найдите периметр параллелограмма и расстояния от вершин B и D до диагонали АС.
3. Докажите, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов, из которых они проведены
4. В треугольнике АВС через середину АВ, точку М проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая сторону АС в точке N. Докажите, а) что N – середина отрезка АС, б) Докажите, что 2MN = BC
5. В треугольнике АВС точка Р – середина ВС. Через эту точку провели прямую PQ, параллельную АС и пересекающую отрезок АС в точке Q. Стороны треугольника PBQ BQ = 4, PQ = 6, BP = 8. Найдите периметр треугольника АВС
6. Какие из утверждений неверны:
а) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник
б) Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм
в) Если в прямоугольнике соединить середины всех сторон, то полученный четырехугольник будет ромбом
г) Если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны между собой, то этот четырехугольник является параллелограммом.
7. ABCD параллелограмм. АВ = 4, РABCD = 20, М AD так, что АМ : МD = 2 : 1, . На середине отрезка ВМ отмечена точка Е. Луч АE пересекает ВС в точке K. а) Докажите, что АЕ – биссектриса угла BAD; б) Найдите длину отрезка ВМ; в) Докажите, что MKCD – параллелограмм.
8. В четырехугольнике ABCD точки M, N, P, Q середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. а) Докажите, что MNPQ – параллелограмм; б) Найдите его периметр, если диагонали его равны 10 и 12.
9. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник ромб .
10. В четырехугольнике ABCD сумма углов , AB || CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки P и Q соответственно так, что BP = QD. a) Докажите, что точки P и Q лежат на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника. b) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на отрезке PQ.
11. В треугольнике АВС АС = 12, через середину стороны АВ – точку М проведена прямая, параллельно АС и пересекающая сторону ВС в точке N. Из вершины В проведена высота треугольника АВС, равная 8 и пересекающая MN в точке К, а АС в точке Р. Найдите: а) площадь треугольника MBN; б) Длину отрезка РК
12. В четырехугольнике ABCD = , диагональ BD проходит через середину отрезка АС и перпендикулярна ему. BC = 10. а) Докажите, что ABCD – ромб. б) Найдите расстояние от точки D до АС.
13. (Фалес) В параллелограмме ABCD точка Е середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р. АB=PD. Докажите, что прямая ВЕ перпендикулярна диагонали АС.
14. На основании равнобедренного треугольника АВС отмечена точка Р, на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К так, что АМ = СК, АС = 2МК = 4АР. а) Докажите, что прямая МК параллельна АС; б) Найдите угол РМК; в) Найдите длину отрезка МР, если угол при вершине треугольника АВС равен 120о, и АВ = 6.
15. Какие из утверждений неверны:
а) Если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм
б) Если в четырехугольнике две стороны параллельны, а две другие равны между собой, то этот четырехугольник является параллелограммом.
в) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник
г) Если в прямоугольнике соединить середины всех сторон, то полученный четырехугольник будет ромбом
16. В прямоугольнике ABCD на серединах сторон АВ и AD отмечены точки М и К соответственно. Из точки М проведен перпендикуляр МР на диагональ АС, а из точки К перпендикуляр КЕ на BD. Известно, что 4KE = AD. а) Докажите, что угол BAD равен 60о ; б) Найдите отношение AP : PC
17. Диагонали ромба MPHK пересекаются в точке О. На сторонах MK, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно так, что AK = KB = PC. а) Докажите, что ОА = ОВ, б) докажите, что четырехугольник APCK – параллелограмм; в) найдите сумму углов РОС и МОА.
18. Стороны PK и MH четырехугольника MPKH параллельны, углы HKM и PMK равны. На стороне РК отметили точку А и через нее и точку пересечения диагоналей четырехугольника провели прямую, пересекающую сторону MH в точке В. Докажите, что AP = HB.
Комментарии: